Logica Matematica

 

 

Operatii logice elementare


    Reamintim ca in cadrul logicii propozitiilor vom studia propozitiile numai din punc de vederea al calitatii lor de a fi adevarate sau false, astfel spus din punc de vedere al valorii de adevar. Plecand de la o propozitie (sau predicat) sau mai multe propozitii (predicate) vom genera noi propozitii (predicate) cu ajutorul orperatiilor logice (operatori logici): negatia, conjunctia, disjunctia, implicatia si echivalenta.
Consideram o propozitie. O operatie unara (sau monora) ii face sa-i corespunda o propozitie compusa a carei valoare de adevar nu depinde decate de propozitia considerate. Cea mai importanta operatie unara este

Negatia


   Definitie. Fie p o propozitie oarecare, negatia propozitie p este propoitia notata “non p” care este adevarata cand p este falsa si este falsa cand p este adevarata.

Negatia predicatelor


   Definitie. Fie p(x) un predicat. Negatia predicatului p(x) este predicatul non p(x) care este adevarat pentru acele valor ale lui x pentru care p(x) este fals si este fals pentru acele valori ale lui x pentru care p(x) este adevarat.
   Analog definim negatia unui predicat cu mai multe varibile
   Observatie. Daca multime de adevar a predicatului p(x) este A, atunci multimea de adevar a predicatului p(x) este CxA

Negatia si complementarea unei multimi


    Definitie. Se numeste predicat asociat multimii A predicatul p(x): “x Î a”(citim: x apatine multimii A)

Conjunctia propozitiilor


   Urmatoarele operatii logice antreneaza doua propozitii (sau predicate) si din acest motiv se numesc operatii binare. Printr-o operatie binara la doua propoziti se asociaza o alta propozitie (numita compusa sau forumula) a carei valoare de adevar nu depinde decaat de cele doua propozitii considerate (de de valorile de adevar).
   Definitie. Conjunctia propozitiilor p, q este popozitia notata pΛq (citim :p si q) care este adevarata daca si numai daca p si q sunt adevarate si falasa in celelalte cazuri.

Conjunctia predicatelor


   Definitie. Fie p(x) si q(x) doua predicate unare. Conjunctia predicatelor p(x), q(x) este predicatul p(x)Λq(x) pentru care propozitia p(x)Λq(x) este adevarata pentru acele valori ale lui x pentru care atat p(x) cat si q(x) sunt adevarate si false in celelalte cazuri.
   Analog se defineste conjunctia predicatelor cu mai multe variabile.

 

Disjunctia propozitiilor

   Definitie. Se numeste disjunctia propozitiilor p, q propozitia notata pvq(citim: p sau q) care este adevarata daca si numai daca cel putin unda din propozitiile p, q este adevarata si falsa in caz contrar.

Disjunctia predicatelor

   Fie p(x) si q(x) doua  predicate unare. Disjunctia predicatelor p(x), q(x) este predicatul notat p(x)vq(x) pentru care propozitia p(x) Úq(x) este adevarata pentru acele valori ale lui x pentru care cel putin una din propozitiile p(x), q(x) este adevarata si falsa in celelalte cazuri.
 Analog se defineste disjunctia predicatelor de mai multe variabile.

Implicatia propozitiilor

   Definitie. Se numeste implicatia propozitiilor p, q in aceasta ordine, propozitia notata p->q (cititm „p implica q” sau „daca p, atunci q”) care este falsa daca si numai daca p este adevarata si q este falsa, si adevarata in rest.
Propozitia p se numeste premisa sau ipoteza, iar propozitia q se numeste concluzie.
Observatii: 1) Notiunea de implicatie joaca un rol important in matematica. Observam din tabel ca daca p(ipoteza) este adevarata si p®q este de asemenea adevarata, atunci q(concluzia) este neaparat adevarata, ceea ce inseamna ca in orice demonstratie plecand de la o ipoteza adevarata si efectuand un rationament corect(implicatia adevarata) se ajunge la o concluzie adevarata.
2)Tot din tabel se deduce ca daca ipoteza este falsa, atunci propozitia p->q este adevarata oricare ar fi valoarea de adevar a propozitiei q. Se spune ca falsul implica orice.
3)implicatia propozitiilor p, q este propozitia (non p) v q.

Implicatia predicatelor

   Definitie. Fie p(x), q(x) doua predicate. Se numeste implicatia predicatelor p(x), q(x) in aceasta ordine, predicatul notat p(x)=>q(x)(citim: daca p(x), atunci q(x) sau inca q(x) este consecinta logica a lui p(x)), pentru care propozitia ("x)(p(x)->q(x)) este adevarata.
   Analog se defineste implicatia predicatelor cu mai multe variabile.
   Semnul „->” il utilizam pentru propozitii fara variabile, iar semnul „=>” pentru propozitii cu variabile.

Echivalenta propozitiilor

   Definitie. Se numeste echivalenta propozitiilor p, q propozitia notata p<->q(citim „p echivalent cu q” sau „p daca si numai daca q”) care este adevarata daca si numai daca ambele propozitii au aceeasi valoare de adevar.
   Observatie. Propozitia p«q se arat usor ca este identica cu propozitia (p->q) Λ (q->p).

Echivalenta predicatelor

   Definitie. Fie p(x), q(x) doua predicate unare. Predicatele p(x)  si q(x) se numesc echivalente si scriem p(x)<=>q(x) daca propozitia  ("x)(p(x) <-> q(x)) este adevarata.
   Analog se defineste echivalenta predicatelor cu mai multe variabile.
    Observatii. 1)Semnul „<->” il utilizam pentru echivalenta propozitiilor fara variabile, iar semnul „<=>” pentru echivalenta propozitiilor cu variabile(deci pentru predicate)
2)Avem p(x)<=>q(x) daca pentru orice valoare x0 a variabilei x propozitiile p(x0) si q(x0) au aceeasi valoare de adevar.